1. Punkty   są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku. Oblicz :

a)       współrzędne czwartego wierzchołka równoległoboku,

b)      miarę kąta ABC

c)       pole równoległoboku

d)       

2. Punkty A=(1,3), B=(5,1), C=(4,4) są wierzchołkami trójkąta. Oblicz Stosunek pola koła opisanego na tym trójkącie do pola koła wpisanego w ten trójkąt. Podaj sposób wyznaczenia równań okręgów opisanego i wpisanego w trójkąt przy dowolnym trójkącie (mając dane współrzędne trzech wierzchołków).

 

3. Prosta l przechodzi przez punkt M=(3,5) i jest równoległa do  prostej AB, gdzie A=(0,1), B=(4,3). Znajdź na prostej l punkt C jednakowo odległy od punktów A i B. Wykaż że trójkąt ABC jest prostokątny. Napisz równanie

okręgu opisanego na tym trójkącie.  

 

4. Prosta k jest styczna do okręgu  w punkcie P=(2,4).

a)       oblicz pole i obwód trójkąta ograniczonego prostą k i osiami układu współrzędnych

b)      Napisz równanie okręgu symetrycznego do danego względem prostej k

c)        

5. Dla jakich wartości parametru a okrąg o równaniu   jest styczny do prostej x=4 ?

 

6. Dla jakich m na prostej y=x+m istnieje taki punkt, że przechodzące przez niego proste styczne do okręgu   tworzą ze sobą kąt 600  ?

 

7. Parabola o równaniu  przecina oś x w punktach A i B. Dla punktu P, który należy do tej paraboli, wektory  są niezerowe i prostopadłe. Oblicz współrzędne punktu P.

 

8. Napisz równanie stycznej do paraboli , która jest równoległą do prostej 3x-2y+30=0. Oblicz odległość między daną styczną i prostą.

 

9. Punkty A=(0,4) i D=(3,5) są wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD. Prosta y=x-6 przechodzi przez punkt C i jest prostopadła do podstawy AB. Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków oraz pole trapezu.

 

10. Pole rombu ABCD wynosi 10. Przeciwległe wierzchołki mają współrzędne A=(1,1) , C=(3,5). Oblicz współrzędne B i D.

 

11. Przekształcenia płaszczyzny :

a)       znajdź obraz prostej y=3x+5 w symetrii względem (0,0)

b)      znajdź obraz paraboli w symetrii względem  prostej y=0

c)       znajdź obraz okręgu  w symetrii względem punktu (3,6)

d)      Znajdź obraz prostej y=2x+1 w symetrii względem prostej y=-x+2

e)      Znajdź obraz paraboli   w symetrii względem punktu (10,6)

f)        Znajdź obraz prostej 2x+3y+1=0 po przesunięciu o wektor [3,6]

g)      Znajdź obraz paraboli  w jednokładności o środku (0,0) i skali k=-0.5

h)      Znajdź obraz paraboli  w jednokładności o środku (2,3) i skali k=5

 

12. Dany jest romb o środku symetrii S=(2,1). Bok AB jest równoległy do prostej o równaniu x+2y=0. Wektor  ma współrzędne [12,6].

a)       wyznacz współrzędne wszystkich wierzchołków rombu.

b)      Sprawdź czy miara kata ABC jest większa niż 60 stopni

 

13. Dana jest prosta o równaniu 3x-2y-6=0 i punkt S=(1,5). Napisz równanie okręgu o środku w punkcie S, wiedząc że cięciwa AB tego okręgu wyznaczona przez prostą k ma długość . Oblicz pole trójkąta ABS.

 

14. Dla  dane są współrzędne wierzchołków A=(4,6), pole = 13, C=(k,-2k) równoległoboku ABCD. Wyznacz współrzędne wierzchołka D.

a)       wyznacz wzór i dziedzinę funkcji f(k), wyrażającej pole równoległoboku ABCD w zależności od k

b)      wyznacz taką wartość k, dla której funkcja f ma wartość najmniejszą. Sprawdź czy dla wyznaczonej wartości k równoległobok ABCD jest prostokątem .

 

15. Punkty A=(0,0), B=(2t,0), C=(0,2) są wierzchołkami trójkąta, w którym wysokość opuszczona z punktu A i środkowa poprowadzona z punktu C przecinają się w punkcie M. Podaj równanie krzywej jaką zakreśli ten punkt gdy .

 

16. Napisz równanie krzywej utworzonej przez środki wszystkich okręgów stycznych do osi x oraz stycznych wewnętrznie do okręgu .

 

17. Odcinek AB, A=(1,2), B=(6,8) podzielono w stosunku 1:3:4. Punkty podziału nazwano C i D. Znajdź współrzędne punktów C i D.

 

18. . Dany jest trójkąt ABC, w którym A = (1,1) i = [4,2] , środkowe trójkąta przecinają się w punkcie

S = (4,6).

a)       wyznaczyć współrzędne punktów B i C

b)      napisać równanie prostej AC

c)       Obliczyć objętość bryły powstałej z obrotu trójkąta ABC wokół prostej AC